Концепция бесконечности на первый взгляд кажется простой, однако при более глубоком размышлении становится все сложнее. Бесконечность подразумевает непрерывную последовательность чисел, уходящую в вечность. Однако это также предполагает существование бесконечного множества различных бесконечностей, образующих сложную иерархию.
Математики и ученые давно изучают природу бесконечности, и уже более века известно, что существует несколько ее видов. Например, одна из знакомых большинству людей бесконечностей – это бесконечное множество натуральных чисел: 1, 2, 3 и так далее. Но существует и множество действительных чисел, включающее отрицательные значения и дроби. Углубляясь в эту тему, можно обнаружить бесконечное множество бесконечностей.
Недавно исследователи из Венского технологического университета и Барселонского университета описали два новых вида бесконечностей: точные и ультра-точные кардиналы . Эти бесконечности выделяются своими необычными свойствами и не вписываются в привычную линейную иерархию.
Точные кардиналы настолько велики, что содержат копии самих себя – наподобие дома, в котором находятся уменьшенные копии этого же дома. Ультра-точные кардиналы включают дополнительные математические правила, определяющие их создание, подобно тому, как такой дом украшен чертежами самого себя. Эти новые бесконечности демонстрируют неожиданные свойства при сравнении с аксиомой выбора – одним из ключевых принципов теории множеств, утверждающим, что из любых множеств можно составить новое.
Теоретики выделяют три категории бесконечностей: те, которые соответствуют стандартной теории множеств, те, что уходят в область хаотической математики, и промежуточные. Предполагалось, что новые кардиналы занимают место в этом промежуточном регионе, но пока их точное положение определить сложно. Более того, их свойства могут противоречить концепции, известной как наследственное частично упорядоченное множество , которая предполагает, что аксиома выбора вводит порядок даже в самых крупных бесконечностях.
Хотя математическое сообщество еще не подтвердило эти открытия, исследование новых видов бесконечностей продолжает расширять понимание этого фундаментального понятия. Работа в этой области показывает, что изучение бесконечности далеко от завершения.