В мае 1694 года в лекционном зале Кембриджского университета состоялась беседа между Исааком Ньютоном и астрономом Дэвидом Грегори, определившая развитие математики на столетия вперед. Точные детали их разговора сохранились плохо и, возможно, частично являются апокрифическими. Начав с обсуждения природы движения звезд разной величины вокруг центрального солнца, ученые вышли на фундаментальную геометрическую проблему, породившую целое направление в математике.
Суть вопроса казалась простой: сколько одинаковых сфер можно расположить вокруг центральной сферы так, чтобы каждая касалась ее в единственной точке, не пересекаясь с остальными? В трехмерном пространстве без труда размещаются 12 сфер вокруг центральной, но между ними остаются промежутки. Грегори полагал, что в эти пустоты можно добавить тринадцатую сферу. Ньютон считал это невозможным. Отсюда возникла “проблема числа поцелуев” (название по аналогии с моментом соприкосновения бильярдных шаров).
Задача оказалась настолько сложной, что математикам потребовалось почти три столетия, чтобы доказать правоту Ньютона. Лишь в 1952 году было математически подтверждено: в трехмерном пространстве максимальное “число поцелуев” действительно равно 12. За прошедшие годы концепция нашла практические применения в анализе атомных структур, конструировании кодов коррекции ошибок и других областях науки.
А что насчет других измерений? В двумерном пространстве решение элементарное: вокруг монеты на столе помещается ровно шесть таких же монет, образуя узор в виде маргаритки:
Однако с увеличением размерности сложность задачи возрастает экспоненциально. Математикам удалось найти точные решения для четырехмерной среды, а также для восьми и двадцати четырех измерений, где сферы выстраиваются в удивительно симметричные решетчатые структуры.
В середине XX века математики нашли неожиданный путь к решению головоломки через теорию информации. Они обратили внимание на коды, которые помогают восстанавливать сообщения при сбоях в передаче данных. Принцип их работы оказался тесно связан с геометрией сфер: каждое закодированное сообщение представляет собой центр сферы в многомерном пространстве. Если при передаче возникают помехи, искаженное сообщение все равно попадает внутрь “своей” сферы, и его можно восстановить.
В 1967 году математик Джон Лич использовал невероятно эффективный код для построения решетки точек, впоследствии названной его именем. Этот же код позже применялся NASA для связи с космическими аппаратами Voyager. Спустя полвека математики доказали, что в 24-мерном пространстве решетка Лича позволяет разместить сферы настолько плотно, что каждая из них соприкасается с 196 560 соседними.
Весной 2022 года студентка MIT Анки Ли пошла против традиций и отказалась искать симметричные структуры. На занятиях она пыталась представить, как выглядят многомерные конфигурации, но это оказалось слишком сложно. Научный руководитель советовал ей заняться более высокими измерениями, где проще добиться результата. Однако Ли заинтересовалась именно размерностями от 17 до 23 – областью, где никто не мог продвинуться вперед.
Сначала Ли обратилась к задаче в 16 измерениях. Там решение уже было известно – решетка Барнса-Уолла, созданная в 1950-х годах на основе особого математического кода. У этой решетки, как и у всех подобных структур в более высоких измерениях, есть важное свойство: когда мы определяем положение центра каждой сферы, число отрицательных координат всегда должно быть четным. Сами сферы выстраиваются симметрично и не наезжают друг на друга.
Ли решила проверить : что будет, если использовать нечетное число отрицательных координат? В 16 измерениях подход не сработал. Но когда она применила его к 17-мерному пространству, между фигурами появились свободные места – туда можно было добавить еще несколько сфер, не нарушая общую структуру.
Поначалу девушка не поверила собственным расчетам. Она рассказывала друзьям, что, вероятно, допустила элементарную арифметическую ошибку. Даже ее научный руководитель, профессор Генри Кон, отнесся к работе скептически – в таких вычислениях легко ошибиться, особенно когда очень хочется найти решение.
Летняя стажировка в Microsoft Research позволила ученым тщательно доработать используемые коды коррекции. Они систематически добавляли совместимые сферы к “нечетной” 17-мерной структуре Ли. В итоге им удалось разместить 384 дополнительные сферы, увеличив нижнюю границу числа касаний с 1967 года до 5730. В 17-мерном пространстве сферы могут образовывать до 10 978 касаний – значит, у математиков еще есть простор для совершенствования концепции.
Метод Ли сработал и для пространств с 18 по 21 измерение, но дальше продвинуться не удалось. Найденные конфигурации сильно отличаются от привычных симметричных структур, основанных на решетке Лича.
Конечно, Ли не первая, кто осмелился отступить от канонов. Недавно венгерский математик Ференц Сёллёши, например, взял заведомо неидеальное расположение сфер в четырех измерениях и на его основе построил новую пятимерную конфигурацию. До этого математики знали только два возможных решения для пяти измерений, а Сёллёши нашел третье. Позже выяснилось, что к такой же конфигурации пришла и другая группа ученых, но они не поняли важность своего открытия.
Значимость этих исследований выходит далеко за рамки чистой геометрии. Улучшенные оценки числа касаний находят применение в кристаллографии, теории кодирования и проектировании систем связи. За три с лишним столетия задача, родившаяся из астрономической дискуссии, превратилась в мощный инструмент для понимания структуры пространства и материи.