Недавно группа математиков представила новое доказательство, которое проливает свет на вопрос, являются ли определённые последовательности чисел случайными или псевдослучайными. Псевдослучайные числа выглядят так же, как и случайные, но на самом деле могут быть получены с помощью детерминированных процессов. Исследования в этой области имеют огромное значение для многих сфер, включая моделирование, лотереи, казино, банковскую систему и кибербезопасность.
В реальной жизни случайность окружает нас повсюду. Например, когда бросают игральный кубик, считается, что вероятность выпадения любого числа – одна шестая. Этот результат считается случайным, поскольку у нас недостаточно информации для точного прогноза исхода броска. Однако, если бы мы знали все детали – как движется рука, какие силы воздействуют на кубик, – теоретически можно было бы предсказать результат. На практике это невозможно, и именно поэтому подобные события воспринимаются как случайные. Математики называют такие процессы псевдослучайными: несмотря на то что они кажутся случайными, детальное знание всех факторов позволяет понять, что они таковыми не являются.
Аналогичным образом, если запросить у Google случайное число, оно будет сгенерировано с использованием предсказуемого алгоритма. Этот процесс не является истинно случайным, но поскольку пользователю недоступны детали генерации, число выглядит случайным. Подобные псевдослучайные числа находят широкое применение, начиная от симуляций и до сложных систем безопасности, используемых в финансовых и правительственных организациях.
Тем не менее, вопрос остаётся открытым: как определить, действительно ли набор чисел или точек в пространстве был создан случайным образом, или это результат детерминированного процесса? Для этого математики разработали несколько тестов на случайность, одним из которых является проверка равномерного распределения. Если точки распределены равномерно по всей площади, то последовательность можно считать случайной. Однако это лишь поверхностный способ анализа. Возникает вопрос: могут ли существовать детерминированные последовательности, которые проходят этот тест? Если такие последовательности существуют, их называют псевдослучайными.
Псевдослучайность важна не только для теории чисел, но и для практических приложений. Например, банки и финансовые институты используют псевдослучайные числа для обеспечения безопасности транзакций. Хакеры и другие злоумышленники постоянно пытаются разгадать алгоритмы, лежащие в основе генерации этих чисел, что стимулирует разработку всё более сложных методов их генерации. Например, компания Cloudflare использует процесс, основанный на видеозаписях движений лавовых ламп для генерации псевдослучайных чисел – система получила название LavaRand.
Возвращаясь к математической стороне вопроса, при анализе случайных последовательностей важно учитывать не только равномерность распределения точек, но и другие параметры, такие как интервалы между точками и корреляция между ними. Например, метод “gap distribution” оценивает размеры промежутков между точками, а метод “pair correlation” анализирует, насколько точки склонны группироваться или, наоборот, оставаться разобщёнными. Если результаты этих тестов соответствуют ожидаемым для случайных данных, то такая последовательность считается обладающей пуассоновскими свойствами (названными в честь французского математика Симеона Пуассона).
Однако доказать, что последовательность проходит все подобные тесты, намного сложнее, чем продемонстрировать наличие определённой закономерности. Именно этим занимались математики Никлас Технау и его коллеги, начиная с пандемийного периода. В ходе своей работы они искали последовательности, которые бы смогли удовлетворить даже самым строгим требованиям для псевдослучайных чисел. Они обратились к старым методам анализа, разработанным Германом Вейлем в 1916 году для проверки равномерного распределения.
Прорыв в работе произошёл, когда учёные поняли, что последовательности с малым значением параметра θ демонстрируют псевдослучайные свойства лучше, чем предполагалось ранее. Например, если θ меньше или равно 1/3, то последовательности проходят тест на пуассоновские корреляции, что стало важным открытием. Это позволило найти целое семейство последовательностей, которые можно было доказать как удовлетворяющие этим строгим критериям. Учёные продолжили свои исследования и смогли показать , что при ещё меньших значениях параметра θ эти последовательности проходят ещё более строгий тест на так называемые тройные корреляции.
Эти результаты не только проливают свет на работу псевдослучайных чисел, но и открывают новые возможности для их применения. К примеру, последовательности, которые растут медленно, такие как последовательности вида xn = {α(log n)θ}, демонстрируют все признаки пуассоновского распределения промежутков и парной корреляции, что делает их крайне полезными для использования в кибербезопасности и криптографии. Более того, эти последовательности настолько “случайны”, что даже при бесконечном количестве тестов невозможно доказать, что они не случайны.
Таким образом, математики сделали важный шаг вперёд в понимании псевдослучайных чисел. Несмотря на сложности в доказательствах, новые методы и техники, использованные в этом исследовании, могут стать основой для дальнейших открытий в этой области. В будущем это может привести к созданию ещё более мощных инструментов для анализа данных, что найдёт применение не только в теоретической математике, но и в реальных приложениях, от безопасности до моделирования сложных систем.